Question

已知函數(shù)f（x）=2x-

x2

2

-aln（x+1），a∈R．
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）的極值點（即函數(shù)取到極值時點的橫坐標）．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后因式分解，然后判定導(dǎo)數(shù)符號，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后討論a，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，根據(jù)極值的定義可求出函數(shù)在定義域內(nèi)的極值．

解答：解：（1）若a=-4，則f（x）=2x-

x2

2

+4ln（x+1），
f′(x)=

-x2+x+6

x+1

=

-(x-3)(x+2)

x+1

∵f（x）的定義域為（-1，+∞）
∴x∈（-1，3）時，f′（x）＞0，x∈（3，+∞）時，f′（x）＜0
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3），單調(diào)減區(qū)間為（3，+∞）
（2）∵f′(x)=

-x2+x+2-a

x+1

當a≥

9

4

時，

-x2+x+2-a

x+1

≤0恒成立，故函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）無極值．
當a＜

9

4

時，對于方程x²-x+a-2=0，△=9-4a＞0，
設(shè)方程x²-x+a-2=0的兩根x₁，x₂，x1=

1- 9-4a

2

，x2=

1+ 9-4a

2

若0＜a＜

9

4

時，-1＜x₁＜x₂，由函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）有極小值點x1=

1- 9-4a

2

；有極大值點x2=

1+ 9-4a

2

．
若a≤0時，x₁≤-1＜x₂，由函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）有極大值點x2=

1+ 9-4a

2

，無極小值點．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．