Question

已知橢圓C：的離心率，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）又已知點(diǎn)A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，直線FA與橢圓C的交點(diǎn)B在y軸的左側(cè)，且滿足，求p的最大值．

Answer 1

解：（1）∵的離心率，∴．①
而右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離d=．②
由①②解得a=，c=1，從而b=1．
從而所求橢圓方程為（6分）
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)B在橢圓（x＜0）上．
設(shè)B（x₀，y₀），其中，
由，知，．
由點(diǎn)A在拋物線y²=2px上，得．
又，∴．令t=x₀+2，則．
即．
∵，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．
∴．
又當(dāng)時(shí)，為橢圓在y軸左側(cè)上的點(diǎn)．
故p的最大值為．（14分）
分析：（1）首先由離心率得出，然后根據(jù)右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離d=，就可以求出橢圓方程；
（2）先設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)，表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，并代入拋物線方程得出，再令t=x₀+2，用的含p式子表示p，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓與拋物線的綜合，巧用a+b≥2是解決（2）問(wèn)的關(guān)鍵，屬于中檔題．