Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差數(shù)列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為{a_n}是等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，所以可把b₂，b₃，b₄都用b₁和d表示，a₂，a₃2都用a₁和q表示，再根據(jù)a₁=2，a₃=18，求出q，根據(jù)b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20求出d，就可得到數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所得{a_n}和{b_n}的通項公式，可知數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和構(gòu)成的數(shù)列，所以可分別求出{a_n}和{b_n}的前n項和，再相加，就是數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公比為q，由a₃=a₁q²得q²=

a3

a1

=9，q=±3．
當(dāng)q=-3時，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
這與a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
當(dāng)q=3時，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合題意．
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₁+b₂+b₃+b₄=26得4b₁+

4×3

2

d=26．
又b₁=2，解得d=3，所以b_n=3n-1．
（Ⅱ）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=

a1(1-qn)

1-q

+(nb1+

n(n-1)

2

d)
=

2×(1-3n)

1-3

+(2n+

n(n-1)

2

×3)
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=3ⁿ+

3

2

n2+

1

2

n-1

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式的求法，對一些常用公式要熟記．