Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0）滿足f（-1）=0，且對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，可得（a-1）²≤0恒成立，從而可求出a，b的值，求出f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]時(shí)是單調(diào)函數(shù)，可得關(guān)于k的不等式，解之即可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=b}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$恒成立，
即（a-1）²≤0恒成立，
∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]時(shí)是單調(diào)函數(shù)，
∴[-2，2]?（-∞，$\frac{k-2}{2}$]或[-2，2]?[$\frac{k-2}{2}$，+∞）
∴2≤$\frac{k-2}{2}$或 $\frac{k-2}{2}$≤-2，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，難度一般，關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．