已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(
x1x2
)=f(x1)-f(x2),且當x>1時,f(x)<0.
(1)求f(1)的值.
(2)判斷f(x)的單調(diào)性.
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
分析:(1)令x1=x2>0,代入可得答案;
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,則
x1
x2
>1,可得f(x1)<f(x2),進而可得函數(shù)的單調(diào)性;
(3)由題意可得f(9)=-2,故可把不等式化為f(|x|)<f(9),由函數(shù)的單調(diào)性可知|x|>9,解之可得答案.
解答:解:(1)令x1=x2>0,代入原式可得:
f(1)=f(x1)-f(x1)=0,
故f(1)的值為0;
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,則
x1
x2
>1,
由于當x>1時,f(x)<0,所以f(
x1
x2
)<0,即f(x1)<f(x2),
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù);
(3)由f(
x1
x2
)=f(x1)-f(x2)得f(
9
3
)=f(9)-f(3),
因為f(3)=-1,所以f(9)=-2,
所以不等式f(|x|)<-2可化為f(|x|)<f(9),
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),
所以|x|>9,解得x>9,或x<-9,
故不等式的解集為{x|x>9,或x<-9}
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明,涉及函數(shù)的求值和絕對值不等式的解集,屬基礎(chǔ)題.
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13、已知定義在區(qū)間(0,+∞)的非負函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),其滿足xf'(x)+f(x)<0,則在0<a<b時,下列結(jié)論一定正確的是
(2)(3)

(1)af'(a)<bf'(b)(2)af(a)>bf(b)(3)bf(a)>af(b)(4)bf'(a)>af'(b)

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已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(
x1x2
)=f(x1)-f(x2),且當x>1時,f(x)<0.
①求f(1)的值;
②判斷f(x)的單調(diào)性;
③若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(
x1x2
)=f(x1)-f(x2),且當x>1時,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(
x1x2
)=f(x1)-f(x2)
,且當x>1時,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并予以證明;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(log2x)>-2.

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