Question

如圖，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）證明：；

（2）證明：求二面角的余弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）如圖，取的中點(diǎn),連結(jié)、,

因?yàn)?/span>是正三角形，所以,又因?yàn)?/span>,所以;由,那么,所以;（2）由（1）結(jié)合條件可以得到就是二面角的平面角，在直角三角形中，有,又那么在直角三角形中，可根據(jù)勾股定理求出,那么;（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角平面坐標(biāo)系，要使得最小，就是要找出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn),求出即可.因此建立如解析中空間直角坐標(biāo)系求.

試題解析：（1）證明：∵ ，△是正三角形，

∴ ，

∴ ,

又∵ ,∴△是正三角形，

取中點(diǎn)，連結(jié)、，則

又∵，

∴,

又∵,

∴

（2）證明：∵，由（1）知，

∴，

∴；

∵

∴

∵,∴ ，

在

∴

（3）解：延長(zhǎng)至使，連結(jié)、、，

以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)是，

則就是的最小值，

考點(diǎn)：立體幾何中的垂直問(wèn)題；成角問(wèn)題；距離問(wèn)題.