Question

(本小題滿分12分)定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：

①在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；                 

②是偶函數(shù)；

③在處的切線與直線垂直.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)，求函數(shù)在上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）. （2）。

【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性

（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²+2bx+c，根據(jù)R上的函數(shù)f(x)= ax³+bx²+cx+2同時(shí)滿足的條件，列出方程組，從而可求函數(shù)y=f（x）的解析式；

（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合區(qū)間，進(jìn)行分類討論，即可求得g（x）在[m，m+1]上的最小值．

解：（1）.   

由題意知即解得  

所以函數(shù)的解析式為.   . …………….…….……4分

（2），   .

令得，所以函數(shù)在遞減，在遞增.    ……6分

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， .  ……9分

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

在單調(diào)遞減，     

綜上，在上的最小值……12分