如圖，在三棱錐中，，，設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

 

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知平面，那么利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得到。

（2）

【解析】

試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，

又，則平面，

故，  2分

同理可得，則為矩形，又，

則為正方形，故．  4分

方法二：由已知可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則平面，故平面平面，則頂點(diǎn)在底面上的射影必在，故．

（II）方法一:由（I）的證明過(guò)程知平面，過(guò)作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分

由已知可得，則，故，則，

又，則，  9分

故，即二面角的余弦值為． 11分

方法二: 由（I）的證明過(guò)程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，

可得， 7分

則，易知平面

的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為

，則由得， 9分

則，即二面角的余弦值為． 11分

考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的大小

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了線(xiàn)面垂直以及二面角的平面角的求解的運(yùn)用屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆廣西玉林市高二下學(xué)期三月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)．

 （Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．    （本題12分）

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過(guò)的中點(diǎn)作平面∥，且分別交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖：在三棱錐中，已知點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，，求證：平面⊥平面.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：黑龍江省2013屆高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，為中點(diǎn)。（1）求證：平面

（2）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由。

 

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