Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+nx+3m+n是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇m-1，2m]．
（1）求m，n的值；
（2）求函數(shù)f（x）在其定義域上的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=mx²+nx+3m+n是偶函數(shù)，
∴函數(shù)的定義值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇m-1，2m]．
∴m-1+2m=0，解得m=
又由f（-x）=mx²-nx+3m+n=f（x）=mx²+nx+3m+n
可得n=0
（2）由（1）得函數(shù)的解析式為：f（x）=x²+1，定義域?yàn)閇-，]．
其圖象是開口方向朝上，且以Y軸為對(duì)稱軸的拋物線
當(dāng)x=±時(shí)，f（x）取最大值
分析：（1）由已知函數(shù)f（x）=mx²+nx+3m+n是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇m-1，2m]．根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且偶函數(shù)的定義中f（-x）=f（x）恒成立，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m，n的方程組，解方程組即可得到m，n的值．
（2）由（1）中m，n的值，我們易得到函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的圖象及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的定義域，易求出函數(shù)f（x）在其定義域上的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是偶函數(shù)，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的最在大值，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于m，n的方程組，求出m，n的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．