Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+a

1+2x

（a∈R）是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m∈R⁺，且滿足log

1+x

1-x

＞log₃

1+x

m

，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）求得f（-x），再由f（-x）=-f（x），求得a的值．　
（Ⅱ）由 log3

1+x

1-x

＞log₃

1+x

m

，得

-1＜x＜1 log3(1+x)-log3(1-x)＞log3(1+x)-log3m

，
化簡可得

-1＜x＜1 1-m＜x

．分-1＜1-m＜1，和當(dāng)1-m≤-1兩種情況，分別求得x的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

2x+a

1+2x

，f（-x）=

2-x+a

1+2-x

=

1+a•2x

1+2x

，（2分）
根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），（4分）
即-

2x+a

1+2x

=

1+a•2x

1+2x

，即 1+a•2^x=-2^x-a，解得 a=-1．　（6分）
（Ⅱ）由 log3

1+x

1-x

＞log₃

1+x

m

，得

-1＜x＜1 log3(1+x)-log3(1-x)＞log3(1+x)-log3m

，（8分）
即

log3(1-x)＜log3k -1＜x＜1

，即 

-1＜x＜1 1-m＜x

．　　（9分）
當(dāng)-1＜1-m＜1，即0＜m＜2時(shí)，1-m＜x＜1；
當(dāng)1-m≤-1，即m≥2時(shí)，-1＜x＜1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．