Question

（理科） 已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=|an-1|(n∈N+)．
（1）若a1=

5

4

，計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，并寫(xiě)出數(shù)列{a_n}（n∈N⁺，n≥2）的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在a1，n0(a1∈R，n0∈N+)，使得當(dāng)n≥n0(n∈N+)時(shí)，a_n恒為常數(shù)，若存在，求出a₁，n₀，否則說(shuō)明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N⁺），求{a_n}的前3k項(xiàng)的和S_3k（用k，a表示）．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列a_n滿足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），a1=

5

4

，我們分別求出a₂，a₃，a₄的值，分析變化的周期性規(guī)則，即可得到{a_n}的表達(dá)式；
（2）分a_n≥1時(shí)，0＜a₁＜1時(shí)，a₁=b≥1時(shí)和a₁=c＜0時(shí)，幾種情況，分別進(jìn)行討論，最后將討論結(jié)論綜合，即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）時(shí)，易知a₂=a-1，a₃=a-2，…，a_k=a-（k-1），利用拆項(xiàng)法，即可得到答案．

解答：解：（1）∵a1=

5

4

，∴a₂=

1

4

，a₃=

3

4

，a₄=

1

4

∴a1=

5

4

，n≥2時(shí)，a_n=

1 4 ，n=2k 3 4 ，n=2k+1

，其中k∈N^*
（2）因?yàn)榇嬖赼_n+1=|a_n-1|=

an-1，an≥1 -an+1，an＜1

，
所以當(dāng)a_n≥1時(shí)，a_n+1≠a_n
①若0＜a₁＜1，則a₂=1-a₁，a₃=1-a₂=a₁，此時(shí)只需：a₂=1-a₁=a₁，∴a1=

1

2

，故存在a1=

1

2

，an=

1

2

，（n∈N^*）
②若a₁=b≥1，不妨設(shè)b∈[m，m+1），m∈N^*，易知a_m+1=b-m∈[0，1），
∴a_m+2=1-a_m+1=1-（b-m）=a_m+1=b-m
∴b=m+

1

2

，∴a₁=m+

1

2

，n≥m+1時(shí)，a_n=

1

2

，（m∈N^*）
③若a₁=c＜0，不妨設(shè)c∈（-l，-l+1），l∈N^*，易知a₂=-c+1∈（l，l+1]，
∴a₃=a₂-1=-c，a_l+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴c=-l+

1

2

，∴a₁=-l+

1

2

（l∈N*），n≥l+2，則a_n=

1

2

故存在三組a₁和n₀：a₁=

1

2

時(shí)，n₀=1；a₁=m+

1

2

時(shí)，n₀=m+1；a₁=-m+

1

2

時(shí)，n₀=m+2其中m∈N^*
（3）當(dāng)a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）時(shí)，
易知a₂=a-1，a₃=a-2，a_k=a-（k-1），
a_k+1=a-k∈（0，1），a_k+2=1-a_k+1=k+1-a，
a_k+3=1-a_k+2=a-k，a_k+4=1-a_k+3=k+1-a，
a_3k-1=a-k，a_3k=k+1-a
∴S_3k=a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+a_k+3+a_k+4+…+a_3k-1+a_3k=a+（a-1）+（a-2）+…+a-（k-1）+k=-

k2

2

+k（a+

3

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式及數(shù)列求和，其中正確理解數(shù)列的遞推公式，并能準(zhǔn)確的對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，是解答本題的關(guān)鍵．