Question

2．如圖所示，邊長為2的正三角形ABC所在平面與梯形BCDE所在平面垂直，BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，F(xiàn)為棱AE的中點．
（1）求證：直線AB⊥平面CDF；
（2）求三棱錐F-ADC的體積．．

Answer 1

分析 （1）如圖，取AB中點M，連接MF，MC，由三角形中位線定理可得MF平行且等于$\frac{1}{2}BE$，結(jié)合CD平行且等于$\frac{1}{2}BE$，可得四邊形MFDC為平行四邊形，得MC∥FD，再由△ABC為正三角形，點M為AB中點，可得DF⊥AB，再由面面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB，最后由線面垂直的判定得AB⊥平面CDF；
（2）在梯形BCDE中，求出三角形EDC的面積，再求出棱錐A-BCDE的高，然后利用等積法求得三棱錐F-ADC的體積．

解答 （1）證明：如圖，取AB中點M，連接MF，MC，
∵M(jìn)為AB中點，∴MF平行且等于$\frac{1}{2}BE$，
又CD平行且等于$\frac{1}{2}BE$，∴MF平行且等于CD，
∴四邊形MFDC為平行四邊形，得MC∥FD；
∵△ABC為正三角形，點M為AB中點，∴CM⊥AB，
從而DF⊥AB；
又∵平面ABC⊥平面BCDE，CD⊥BC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
∴CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AB，
又∵CD∩DF=D，
∴AB⊥平面CDF；
（2）解：在梯形BCDE中，
∵BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，BC=2，
∴${S}_{△EDC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
過A作AO⊥BC，垂足為O，
由平面ABC⊥平面BCDE，且平面ABC∩平面BCDE=BC，
可得AO⊥平面BCDE，而AO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${V_{F-ADC}}={V_{A-FDC}}={V_{E-FDC}}={V_{F-EDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-EDC}}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．