Question

11．已知k∈R，$\overrightarrow{AB}$=（k，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，4），若|${\overrightarrow{AB}}$|＜$\sqrt{10}$，則△ABC是鈍角三角形的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量的模和向量的夾角公式，分類討論求出△ABC是鈍角三角形的k的范圍，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：∵|${\overrightarrow{AB}}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$＜$\sqrt{10}$，
∴-3＜k＜3，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=（2-k，3），
若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＜0，即2k+4＜0，解得-3＜k＜-2，
若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，即k（k-2）-1×3＜0，解得-1＜k＜3，
若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，即2（2-k）+3×4＜0，解得k＞8舍去，
∴△ABC是鈍角三角形的概率P=$\frac{-2+3+3+1}{3-（-3）}$=$\frac{5}{6}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型概率問(wèn)題，關(guān)鍵求出滿足條件的長(zhǎng)度，屬于中檔題．