Question

（2011•徐州模擬）若關于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有實數根，則實數a的取值范圍為

(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞)

．

Answer 1

分析：關于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有實數根x≠0，兩邊除以x²，等價變形為二次方程后，然后利用分離變量法轉化成值域問題即可解決．

解答：解：關于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有實數根x≠0，
兩邊除以x²，得x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=0，（1）
設y=x+

1

x

，則|y|=|x|+

1

|x|

≥2，
（1）變?yōu)?y²-2+ay+a=0，有根
分離變量得a=

2-y2

y+1

=

1

y+1

+1-y，
在y≥2，或y≤-2時，a是減函數，
當y=2時，a=-

2

3

；當y=-2時，a=2．
∴a≤-

2

3

，或a≥2．
則實數a的取值范圍為 (-∞，-

2

3

]∪[2，+∞)．
故答案為：(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞)．

點評：本題主要考查了函數的零點與方程根的關系，考查了函數的性質、二次函數等基本知識，考查了函數與方程思想，屬于中檔題．