Question

如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且

（1）在棱AB上找一點Q，使QP//平面AMD，并給出證明；

（2）求平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）當時，有//平面AMD.

證明：因為MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，

所以，又，所以，所以在中，OP//AM.

又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.

（2）銳二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）設Q為AB上的一點，滿足.由線面平行的性質(zhì)證出MD//NB，結(jié)合題中數(shù)據(jù)利用平行線的性質(zhì)，得到，從而在中得到OP//AM.最后利用線面平行判定定理，證出// 面AMD，說明在棱AB上存在滿足條件的點；

（2）建立如圖所示空間直角坐標系，算出向量、和的坐標.利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，算出平面CMN的法向量.根據(jù)線面垂直的判定定理證出DC平面BNC，從而得到即是BNC的法向量，最后利用空間向量的夾角公式加以計算，即可算出平面CMN與平面BNC所成銳二面角的余弦值.

試題解析：（1）當時，有//平面AMD.

證明：因為MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，

所以，又，所以，所以在中，OP//AM.

又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.

（2）以DA、DC、DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），

設平面CMN的法向量為=（x，y，z）則，所以，所以=（1，-2，-2）.

又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量為==（0，2，0），

設所求銳二面角為，則.

考點：利用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定.