Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若a=1．求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a=-1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，和極值，函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)h（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=（x²+3x）e^x．
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-e=4e（x-1），
即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（

1

3

x³+

1

2

x²+m）
則h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）
=-（e^x+1）（x²+x）
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1處取得極小值h（-1）=-

3

e

-

1

6

-m，在x=0處取得極大值h（0）=-1-m，
∵函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)h（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴

h(-1)＜0 h(0)＞0

即

- 3 e - 1 6 -m＜0 -1-m＞0

，
解得：-

3

e

-

1

6

＜m＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值，考慮極值的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．