【題目】已知橢圓,焦距為2,離心率.

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

過點作圓的切線切點分別為,直線軸交于點過點的直線交橢圓兩點關(guān)于軸的對稱點為,的面積的最大值.

【答案】(1) (2) 面積的最大值為3

【解析】試題分析:(Ⅰ)由橢圓的焦點為,離心率,求出,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)由題意,得、、 四點共圓,該圓的方程為,得的方程為,直線的方程為,設(shè),則,從而最大, 就最大,可設(shè)直線的方程為,由,得,由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式,能求出的面積的最大值.

試題解析(Ⅰ)由題意, ,解得,由,解得;

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)由題意,得四點共圓,該圓的方程為,

又圓的方程為,故直線的方程為,

,得,即點的坐標(biāo)為,則點關(guān)于軸的對稱點為.

設(shè),則,因此最大, 就最大,

由題意直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,

,

所以,

又直線與橢圓交于不同的兩點,則,即,

,

,則,

,則函數(shù)上單調(diào)遞增,

即當(dāng)時, 上單調(diào)遞增,因此有;

所以,當(dāng)時取等號.

面積的最大值為3.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程、韋達定理和三角形面積公式及單調(diào)性求最值,屬于難題. 解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用函數(shù)單調(diào)法面積的最大值的.

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(2)已知點P0(0,1),△xk=1(k∈N* , k≤n),且{yk}(k∈N,k≤n)是遞增數(shù)列,點Pn在直線l:y=3x﹣8上,求n;
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