Question

設(shè)α∈R，則“a=1”是“f（x）=lg（a+

2

x-1

）為奇函數(shù)”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．即不充分也不必要條件

Answer 1

分析：首先明白函數(shù)f（x）是奇函數(shù)必須滿足：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱及定義域內(nèi)的任意x滿足f（-x）+f（x）=0．再驗(yàn)證是否滿足充要條件即可．

解答：解：“?”：a=1時(shí)，f（x）=lg

x+1

x-1

，由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對稱；
又f（-x）+f（x）=lg

-x+1

-x-1

+lg

x+1

x-1

=lg1=0，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
“?”：若f（x）=lg（a+

2

x-1

）為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=lg(a+

2

x-1

)+lg(a+

2

-x-1

)=0，
化為（a-1）[（a+1）（x²-1）+4]=0，此式對于定義域內(nèi)的任意x皆成立，必有a=1，由上面可知a=1滿足題意．
故“a=1”是“f（x）=lg（a+

2

x-1

）為奇函數(shù)”的充要條件．
故選C．

點(diǎn)評：充分理解奇函數(shù)的定義和充要條件是解題的關(guān)鍵．