Question

如圖所示，某動物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室．已知已有兩面墻的夾角為60°（即∠C=60°），第三面圍墻的長度為6米，即AB=6米，（兩面墻的長均大于6米）．為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大．記∠ABC=θ，問當(dāng)θ為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？

Answer 1

分析：先利用正弦定理，求得AC，BC的長，再利用三角形的面積公式，利用三角恒等變換公式化簡，從而可求三角形面積的最大值．

解答：解：在△ABC中，

AC

sinθ

=

AB

sin π 3

=

BC

sin(θ+ π 3 )

∴AC=4

3

sinθ，BC=4

3

sin(θ+

π

3

)
∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=12

3

sinθsin(θ+

π

3

)=6

3

(sin2θ+

3

sinθcosθ)
=6

3

[

1

2

+sin(2θ-

π

6

)]
∴2θ-

π

6

=

π

2

時，即θ=

π

3

時，面積最大為9

3

∴θ=

π

3

時，所建造的三角形露天活動室的面積最大

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角形的面積公式，考查三角恒等變換，構(gòu)建三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．