Question

已知定點A（m，0），圓x²+y²=1上有一動點Q，若AQ的中點為P．
（1）求動點P的軌跡方程C；
（2）若過原點且傾斜角為60°的直線與曲線C交于M，N兩點，是否存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點A？若存在，求出A；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）運(yùn)用代入法求軌跡方程．設(shè)P（x，y），Q（x₀，y₀），由中點坐標(biāo)公式，再代入圓的方程，化簡即可；
（2）設(shè)直線方程為y=

3

x，代入方程C，得到關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理，注意判別式大于0，若存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點A．則得到AM，AN垂直，由斜率之積為-1，得到方程，再化簡整理，得到m的方程，解出即可判斷．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），Q（x₀，y₀），則

x0=2x-m y0=2y

，
代入圓的方程x²+y²=1，得（2x-m）²+（2y）²=1，
即動點P的軌跡方程C（x-

m

2

）²+y²=

1

4

．
（2）存在．
設(shè)直線方程為y=

3

x，代入方程C，得16x²-4mx+m²-1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

△=16m2-64(m2-1)＞0 x1+x2= m 4 x1x2= m2-1 16

，
若存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點A．則

y1

x1-m

•

y2

x2-m

=-1．
即y₁y₂+x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=0，而y₁y₂=3x₁x₂，
∴

m2-1

4

-

m2

4

+m²=0，解得m=±

1

2

，
當(dāng)m=±

1

2

，△＞0成立，故存在點A（±

1

2

，0）．

點評：本題考查軌跡方程的求法：代入法，考查直線與圓的位置關(guān)系，同時考查直線方程和圓的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及圓中直徑所對的圓周角為直角，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．