Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）某公園的大型中心花園的邊界為橢圓，花園內(nèi)種植各種花草，為增強(qiáng)觀賞性，在橢圓內(nèi)以其中心為直角頂點(diǎn)且關(guān)于中心對稱的兩個(gè)直角三角形內(nèi)種植名貴花草（如圖），并以該直角三角形斜邊開辟觀賞小道（不計(jì)小道的寬度），某園林公司承接了該中心花園的施工建設(shè)，在施工時(shí)發(fā)現(xiàn)，橢圓邊界上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離和為4（單位：百米），且橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為1（單位：百米）．
（1）試以橢圓中心為原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）請計(jì)算觀賞小道的長度（不計(jì)小道寬度）的最大值．

Answer 1

分析：（1）以兩焦點(diǎn)連線為x軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)橢圓邊界上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離和為4可求出a的值，根據(jù)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為1可求出c的值，從而求出橢圓方程；
（2）討論直角三角形斜邊所在直線方程的斜率是否存，存在時(shí)設(shè)出方程，表示出AB的長，再利用基本不等式求出最值即可，斜率不存在時(shí)斜邊可直接求出．

解答：解：（1）如圖，以兩焦點(diǎn)連線為x軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知，2a=4，a-c=1，a=2，c=1，
∴b=

3

，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①若該直角三角形斜邊斜率存在且不為0，設(shè)直角三角形斜邊所在直線方程為y=kx+m，斜邊與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組y=kx+m

x2

4

+

y2

3

=1
得3x²+4（kx+m）²=12，即（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
則△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0，即4k²-m²+3＞0．
∴x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m²=

3m2-12k2

3+4k2

，
要使△AOB為直角三角形，需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即

4m2-12

3+4k2

+

3m2-12k2

3+4k2

=0，所以7m²-12k²-12=0，（9分）
即m²=

12k2+12

7

，故4k²-m²+3=4k²+3-

12k2+12

7

=

16k2+9

7

＞0，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

48 7 • 16k4+25k2+9 16k4+24k2+9

=

48 7 •(1+ k2 16k4+24k2+9 )

=

48 7 •(1+ 1 16k2+ 9 k2 +24 )

≤

7

．
當(dāng)僅當(dāng)16k²=

9

k2

，k=±

3

2

時(shí)，等號成立．
②若該直角三角形斜率不存在或斜率為0，則斜邊長為

4 21

7

．
綜上可知，觀賞小道長度的最大值為2

7

（百米）．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用與弦長公式，同時(shí)考查了分類討論，轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．