Question

3．平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0相切，則圓C面積的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{4}$π
• B． π
• C． 2π
• D． 3π

Answer 1

分析 由題意，AB為直徑，∠AOB=90，可知O點(diǎn)必在圓C上，由O向直線做垂線，垂足為D，則當(dāng)D恰為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)圓C的半徑最小，即面積最�。�

解答 解：由題意，圓C面積的最小值，其半徑最小，
∵AB為直徑，∠AOB=90°，
∴O點(diǎn)必在圓C上，
由O向直線做垂線，垂足為D，則當(dāng)D恰為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)圓C的半徑最小，即面積最小
此時(shí)圓的直徑為原點(diǎn)O（0，0）到直線x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距離．
即2r=$\frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$，
∴r=$\sqrt{3}$．
∴圓C面積的最小值為3π．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)AB為直徑，∠AOB=90°，推斷O點(diǎn)必在圓C上，由O向直線做垂線，垂足為D，則當(dāng)D恰為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)圓C的半徑最小，即面積最小，利用點(diǎn)到直線的距離求得O到直線的距離，則圓的半徑可求．屬于中檔題．