Question

在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，則f(x)                                                                             (　　)

A．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)

B．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)

C．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)

D．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)

思路　根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)和關系式f(x)＝f(2－x)，可得函數(shù)圖像的兩條對稱軸，只要結合這個對稱性就可以逐次作出這個函數(shù)的圖像，結合圖像對問題作出結論．

Answer 1

B

解析　方法一　由函數(shù)是偶函數(shù)，知函數(shù)的圖像關于y軸對稱，函數(shù)在區(qū)間[－2，－1]上的單調性與在區(qū)間[1,2]上的單調性相反，為增函數(shù)； 由f(x)＝f(2－x)知函數(shù)的圖像關于直線x＝1對稱，故函數(shù)在區(qū)間[3,4]上的單調性與在區(qū)間[－2，－1]上的單調性相反，為減函數(shù)．故選B.

方法二　求解本題的難點在于函數(shù)的抽象性，化解難點的基本思想是充分利用函數(shù)的性質進行推理，如根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得f(－x)＝f(x)，再根據(jù)f(x)＝f(2－x)，把其中的x換成－x可得f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(x＋2)，即函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，再根據(jù)f(x)＝f(2－x)推知函數(shù)圖像關于直線x＝1對稱．