Question

在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線C的極坐標方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，直線l：

x=2+tcosα y=3+tsinα

（t為參數(shù)）過曲線C的焦點，則tanα=

 

．

Answer 1

考點：圓的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：第一步：將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得到tanα的表達式；
第二步：將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，得焦點坐標；
第三步：將焦點坐標代入tanα的表達式中即得所求結(jié)果．

解答： 解：由

x=2+tcosα y=3+tsinα

，消參數(shù)t，得tanα=

y-3

x-2

．…①
曲線C的極坐標方程ρsin²θ+4sinθ-ρ=0化為ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，…②
將ρ²=x²+y²及ρsinθ=y代入②式中，整理得x²=4y，
從而知，拋物線C的焦點坐標為（0，1），
將焦點坐標代入①式中，得tanα=

1-3

0-2

=1，即tanα=1．
故答案為1．

點評：本題主要考查了直線的參數(shù)方程及拋物線的極坐標方程．
（1）將參數(shù)方程化普通方程時，關鍵是消參，常見消參方式有：兩式相加減、相乘除，等式兩邊平方，代入法消參等，應注意方程轉(zhuǎn)化前后的等價性；
（2）極坐標方程化直角坐標方程時，關鍵是利用轉(zhuǎn)換公式：

x=ρcosθ y=ρsinθ

，或

ρ2=x2+y2 tanθ= y x (x≠0)

．