Question

如圖，在四棱錐ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
（Ⅰ）求PD與BC所成角的大��；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）取的AB中點H，易證∠PDH為PD與BC所成角，解三角形可得；
（2）由已知結(jié)合線面垂直的判定可得：
（3）坐標(biāo)法求得平面的法向量，由向量的夾角可得二面角的大小．

解答：（Ⅰ）取的AB中點H，連接DH，易證BH∥CD，且BD=CD …（1分）
所以四邊形BHDC為平行四邊形，所以BC∥DH
所以∠PDH為PD與BC所成角…（2分）
因為四邊形，ABCD為直角梯形，且∠ABC=45°，所以⊥DA⊥AB
又因為AB=2DC=2，所以AD=1，因為Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都為等腰直角三角形，
所以PD=DH=PH=

2

，故∠PDH=60°…（4分）
（Ⅰ）連接CH，則四邊形ADCH為矩形，∴AH=DC   又AB=2，∴BH=1
在Rt△BHC中，∠ABC=45°，∴CH=BH=1，CB=

2

∴AD=CH=1，AC=

2

∴AC²+BC²=AB²∴BC⊥AC…（6分） 又PA平面ABCD∴PA⊥BC …（7分）
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  …（8分）
（Ⅲ）如圖，分別以AD、AB、AP為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)可知：
A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），
∴

AP

=（0，0，1），

PC

=（1，1，-1）…（9分）
設(shè)m=（a，b，c）為平面PAC的一個法向量，則

m• AP =0 m• PC =0

，即

c=0 a+b-c=0

設(shè)a=1，則b=-1，∴m=（1，-1，0）…（10分）
同理設(shè)n=（x，y，z） 為平面PCD的一個法向量，求得n=（1，1，1）…（11分）
∴cos?m，n＞=

m•n

|m|•|n|

=

1×1-1×0+0×1

2 × 2

=

1

2

所以二面角A-PC-D為60°…（12分）

點評：本題考查立體幾何的綜合問題，涉及線面角，線面垂直和二面角，屬中檔題．