Question

（本題滿分14分）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)；

（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

 

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）考慮到，因此可以利用條件中給出的前項(xiàng)和表達(dá)式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合條件可得，從而，再由條件中的等式，可得關(guān)于公比的方程：或（舍去），從而；（2）首先對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行變形，利用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和：，從而

，即可得.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，∴，∵等比數(shù)列，∴，

∴，又∵，∴或（舍去），

∴（4分）；（2）由（1）可得：，（8分）∴

，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，（12分）∴，即.（14分）

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.