Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，點F為棱PD的中點．

（1）在棱AB上是否存在一點E，使得AF∥面PCE，并說明理由；

（2）當二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時，求直線PB與平面ABCD所成的角．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45°

【解析】

（1）點E為棱AB的中點取PC的中點Q，連結EQ、FQ，推導出四邊形AEQF為平行四邊形，從而AF∥EQ，由此能證明AF∥平面PEC．（2）推導出ED⊥CD，PD⊥AD，且從而PD⊥面ABCD，故以D為坐標原點建立空間坐標系，利用向量法能求出直線PB與平面ABCD所成的角．

（1）在棱AB上存在點E，使得AF∥面PCE，點E為棱AB的中點．

理由如下：取PC的中點Q，連結EQ、FQ，由題意，F(xiàn)Q∥DC且，AE∥CD且，

故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四邊形AEQF為平行四邊形．所以，AF∥EQ，又EQ平面PEC，AF平面PEC，

所以，AF∥平面PEC．

（2）由題意知△ABD為正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，

所以PD⊥AD，且面ADP⊥面ABCD，面ADP∩面ABCD＝AD，

所以PD⊥面ABCD，故以D為坐標原點建立如圖空間坐標系，

設FD＝a，則由題意知D（0，0，0），F(xiàn)（0，0，a），C（0，2，0），，

，，設平面FBC的法向量為，

則由得，令x＝1，則，，

所以取，顯然可取平面DFC的法向量，

由題意：，所以a＝1．

由于PD⊥面ABCD，所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD，

所以∠PBD為直線PB與平面ABCD所成的角，

易知在Rt△PBD中，從而∠PBD＝45°，

所以直線PB與平面ABCD所成的角為45°．