Question

設f （n）為正整數n （十進制）的各數位上的數字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²．記f₁（n）=f （n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]（k=1，2，3，…），則f₂₀₀₇（2007）=（ ）
A．20
B．4
C．42
D．145

Answer 1

【答案】分析：由題意求出f（2007）的值，然后求出f（f（2007））的值，順次進行，求出它的周期即可得到結果．
解答：解：由題意f（2007）=2²+0²+0²+7²=53，
f（f（2007））=f（53）=5²+3²=34，
f（34）=3²+4²=25，
f（25）=2²+5²=29，
f（29）=2²+9²=85，
f（85）=8²+5²=89，
f（89）=8²+9²=145，
f（145）=1²+4²+5²=42，
f（42）=20，
f（20）=4，
f（4）=16，
f（16）=37，
f（37）=58，
f（58）=f（85）…8次一個循環(huán)，
即f（k+8n）=f k（n），
∵f₁（n）=f （n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]
∴f₂₀₀₇（2007）=f（f（f（f（f（…f（2007）…）））））），
共有2007次計算，
所以表達式取得206次計算后，經過250次循環(huán)，
∵250=8×31+2
∴余下一次計算是f（89），
∵f（89）=8²+9²=145，
∴f₂₀₀₇（2007）=145．
故答案為：145．
點評：本題考查函數值的計算，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，求出函數的值去掉計算后，得到函數的周期性計算的解題的關鍵．