Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式與定義域；
（2）將函數(shù)f（x）圖象向左平移

1

2

個單位，再向下平移log₃2個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，設(shè)F(x)=g(

x

9

)g(3x)，求F（x）在[

1

9

，9]上的最值及其相對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象上A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得a，b的值，代入可得f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)部分大于0，可得函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可求出函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而求出F(x)=g(

x

9

)g(3x)的解析式，利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得F（x）在[

1

9

，9]上的最值及其相對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由圖象中A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)得

2a+b=3 5a+b=9

，解得

a=2 b=-1

．
故f（x）=log₃（2x-1），定義域?yàn)椋?span id="eoiw0uq" class="MathJye">

1

2

，+∞）．
（2）由題可得g（x）=log3[2(x+

1

2

)-1]-log32=log₃x，∴F(x)=log3(

x

9

)•log3(3x)，
∴F（x）=（log₃x-2）（log₃x+1）=lo

g

2 3

x-log3x-2，
設(shè)t=log₃x，x∈[

1

9

，9]，則-2≤t≤2，∴F（x）可轉(zhuǎn)化為y=t²-t-2（-2≤t≤2），
∴y=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），其對稱軸為t=

1

2

，
∴當(dāng)t=

1

2

時，ymin=-

9

4

，此時x=

3

；當(dāng)t=-2時，y_max=4，此時x=

1

9

．
綜上知，當(dāng)x=

1

9

時，最大值為F(

1

9

)=4，當(dāng)x=

3

時，最小值為F(

3

)=-

9

4

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．