Question

（2012•黔東南州一模）已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F₂，F(xiàn)₂在C的兩條漸近線上的射影分別為P、Q，O是坐標(biāo)原點，且四邊形OPF₂Q是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過F₂的直線l交C于A、B兩點，線段AB的中點為M，問|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直線l的方程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)C的兩條漸近線相互垂直，且F₂到其中一條漸近線的距離為2，建立方程組，求出幾何量，從而可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）這樣的直線不存在，分類討論．當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及

OA

⊥

OB

，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意知C的兩條漸近線相互垂直，且F₂到其中一條漸近線的距離為2，
∴

b a ×(- b a )=-1 bc a2+b2 =2

，∴

a=2 b=2

故雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

4

=1．                              …（5分）
（Ⅱ）這樣的直線不存在，證明如下：…（7分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，結(jié)論不成立                         …（8分）
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為y=k(x-2

2

)，并設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由|MA|=|MB|=|MO|知

OA

⊥

OB

…（9分）
∵

y=k(x-2 2 ) x2-y2=4

，∴(1-k2)x2+4

2

k2x-8k2-4=0(k2-1≠0)
∴

x1+x2= 4 2 k2 k2-1 x1x2= 8k2+4 k2-1

…（10分）
故

OA

•

OB

=(x1，y1)(x2，y2)=(k2+1)x1x2-2

2

k2(x1+x2)+8k2=0…（11分）
∴

(k2-1)(8k2+4)

k2-1

-

16k4

k2-1

+8k2=0
∴k²=-

1

3

，這不可能
綜上可知，不存在這樣的直線．                                 …（12分）

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．