Question

已知函數(shù)f（x）=
（Ⅰ）若k＞0且函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）如果當(dāng)x≥2時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：n≥2，…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e^2n-3．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值為f（1），再由函數(shù)f（x）在區(qū)間（其中k＞0）上存在極值可得，由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（Ⅱ）由題意可得x≥2時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù) 最小值，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知：當(dāng)a=3時(shí)，恒成立，即，令 x=n（n+1）-2，則．可得 ，，…，，把這n個(gè)不等式相加化簡(jiǎn)即得所證．
解答：解（Ⅰ）因?yàn)?函數(shù)f（x）=，x＞0，則 f′（x）=-，
當(dāng) 0＜x＜1時(shí)，＞0；當(dāng) x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在 x=1處取得極大值；…．（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（其中k＞0）上存在極值，
所以解得；…．（4分）
（Ⅱ）不等式，又x≥2，則，，則；…．（6分）
令h（x）=x-2lnx，則，∵x≥2，h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）_min=h（2）=2-2ln2＞0，
從而 g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也單調(diào)遞增，所以g（x）_min=g（2）=2（1+ln2），
所以．a(chǎn)≤2（1+ln2）；…．（8分）
（Ⅲ）由（2）知：當(dāng)a=3時(shí)，恒成立，即，，
令 x=n（n+1）-2，則；…．（10分）
所以 ，，…，
，
n個(gè)不等式相加得＞2n-3
即（2•3-2）（3•4-2）…（n（n+1）-2）（（n+1）（n+2）-2）＞e^2n-3…．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的恒成立問題，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題．