Question

如圖，△ABC為正三角形，平面AEC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．

求證：(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)取CE中點(diǎn)F，連結(jié)DF．∵CE＝CA＝2BD， 　　∴四邊形CFDB為矩形． 　　∴DF＝BC＝AB，EF＝DB，∠EFD＝∠ECB＝90°＝∠DBA． 　　∴△DEF≌△ADB 　　∴DE＝AD 　　(2)取AC中點(diǎn)G，連結(jié)BG、MG． 　　∵M(jìn)、G是AE、AC的中點(diǎn)， 　　∴MG∥CE∥BD 　　∴B、M、G、D確定一個(gè)平面，且四邊形MGBD為矩形． 　　∵BC＝BA，GC＝GA， 　　∴GB⊥AC 　　∵EC⊥平面ABC，BG平面ABC， 　　∴EC⊥BG． 　　∴BG⊥平面ACE．． 　　∵BD平面BDM， 　　∴平面BDM⊥平面ECA 　　(3)∵BG⊥平面ACE，BG∥DM， 　　∴DM⊥平面AEC 　　∵DM平面DEA， 　　∴平面DEA⊥平面ECA