Question

已知函數(shù)f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a值和函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）若當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，不等式f-1(x)≥log2

1+x

m

恒成立，求m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，可求出a的值，從而求出f（x）的解析式，根據(jù)指數(shù)的有界性求出函數(shù)的值域，將x用y表示，最后交換x、y，即可求出反函數(shù)的解析式，根據(jù)反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域可得所求；
（2）由（1）得log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

對(duì)x∈（-1，1）恒成立根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性建立不等式，將m分離出來(lái)，即m≥1-x對(duì)x∈（-1，1）恒成立，從而求出所求．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f(0)=0⇒

a•1+a-2

1+1

=0，∴a=1…（2分）
記y=f(x)=

2x-1

2x+1

．整理得2x=

1+y

1-y

＞0∴

1+y

1-y

＞0⇒-1＜y＜1
上式兩邊取2為底的對(duì)數(shù)，x=log2

1+y

1-y

，交換x、y，y=log2

1+x

1-x

故所求反函數(shù)f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
（2）由（1）得log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

對(duì)x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x對(duì)x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范圍是m≥2…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反函數(shù)，以及反函數(shù)與原函數(shù)的之間的關(guān)系，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題和最值問(wèn)題，是一道綜合題．