已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí),求P的值。

(I)證法一:

整理得

......................12分

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則

展開上式并將①代入得

故線段是圓的直徑。

證法二:

整理得

①……3分

若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,則

去分母得

點(diǎn)滿足上方程,展開并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

證法三:

,

整理得

為直徑的圓的方程是

展開,并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

(Ⅱ)解法一:設(shè)圓的圓心為,則

,∴

所以圓心的軌跡方程為:

設(shè)圓心到直線的距離為,則

當(dāng)時(shí),有最小值,由題設(shè)得

……14分

解法二:設(shè)圓的圓心為,則



…………9分

所以圓心得軌跡方程為…………11分

設(shè)直線的距離為,則

因?yàn)?sub>無(wú)公共點(diǎn).

所以當(dāng)僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到的距離最小,最小值為

將②代入③,有

…………14分

解法三:設(shè)圓的圓心為,則

若圓心到直線的距離為,那么

當(dāng)時(shí),有最小值時(shí),由題設(shè)得

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(遼寧卷理10)已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(    )

A.                 B.                C.               D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆湖北省武漢市高二下期末理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

已知點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為,到圓上一動(dòng)點(diǎn)Q的距離為的最小值是       

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江西省高三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:填空題

下列命題中:

①設(shè){直線},{圓},則集合的元素個(gè)數(shù)為:0或1或2;

②過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線兩點(diǎn),則;

③已知二面角的平面角的大小是,是直線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,垂足分別為,且,則的最小值為:

④已知是平面,是直線,若,則;

⑤已知點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A在圓上,

   則的最小值為4;

   以上命題正確的為          (把所有正確的命題序號(hào)寫在橫線上)。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆度黑龍江龍東地區(qū)高二第一學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷 題型:選擇題

已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(    )

A.        B.       C.      D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年四川省高三第三次模擬考試(理) 題型:選擇題

已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為                                                                      (    )

       A.                 B.3                        C.                    D.

 

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