Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a＞2），a_n+1=，n∈N^*．
（1）求證：a_n+1＜a_n；
（2）若a=，且數(shù)列{b_n}滿足a_n=b_n+，b_n＞1，求證：數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式；
（3）若a=2011，求證：當(dāng)n≥12時(shí)，2＜a_n＜2+恒成立．（參考數(shù)據(jù)2¹⁰=1024）

Answer 1

【答案】分析：（1）由=（n≥2），知a_n+1-a_n，a_n-a_n-1，a_n-1-a_n-2，…，a₂-a₁同號(hào)，由a²-a-2=（a-2）（a+1）＞0，知a²＞a+2，由此能夠證明a_n+1＜a_n．
（2）由==，知=，，由此能夠證明數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式．
（3）由當(dāng)n≥2時(shí)，=，知a_n-2與a_n-1-2同號(hào)，對(duì)一切n≥2成立，故a_n-2，a_n-1-2，…，a₂-2，a₁-2同號(hào)，由此能夠證明當(dāng)n≥12時(shí)，2＜a_n＜2+恒成立．
解答：解：（1）
=（n≥2），
上式表明a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號(hào)，
∴a_n+1-a_n，a_n-a_n-1，a_n-1-a_n-2，…，a₂-a₁同號(hào)，
∵a＞2，
∴a²-a-2=（a-2）（a+1）＞0，
∴a²＞a+2，
∴，a₂-a₁＜0．
∴a_n+1-a_n＜0，
故a_n+1＜a_n．
（2）∵
=
=，
=，
，
注意到b_n＞1，
（x＞0），，
∴f（x）在x＞1時(shí)為增函數(shù)，而f（）=f（b_n），
∴，
∴2lgb_n+1=lgb_n，
∴，
∴數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列，
當(dāng)=，，，
=，
∴，
=．
（3）∵當(dāng)n≥2時(shí)，=，
上式表明：a_n-2與a_n-1-2同號(hào)，對(duì)一切n≥2成立，
∴a_n-2，a_n-1-2，…，a₂-2，a₁-2同號(hào)，
而a₁-2＞0，
∴a_n-2＞0，a_n-1-2＞0，
∵n≥2時(shí)，=，
∴，
∴…
=＜，
∴0＜，
當(dāng)a₁=2011，n=12時(shí)，
=＜=，
∴，
∵a_n＞a_n+1，
∴當(dāng)n≥12時(shí)，2＜a_n＜2+恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．