【題目】已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：

， ．

其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和．

若對(duì)于任意的，總有，則稱(chēng)集合具有性質(zhì)．

（Ⅰ）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合和．

（Ⅱ）對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明．

（Ⅲ）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】（Ⅰ）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，相應(yīng)集合， ，集合， （Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】解：集合不具有性質(zhì)．

集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，

．

（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)．

因?yàn)?/span>，所以；

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， ．

從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，

即．

（III）解： ，證明如下：

（1）對(duì)于，根據(jù)定義， ， ，且，從而．

如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立．

故與也是的不同元素．

可見(jiàn)， 中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，

（2）對(duì)于，根據(jù)定義， ， ，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也不至少有一個(gè)不成立，

故與也是的不同元素．

可見(jiàn)， 中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，

由（1）（2）可知， ．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校舉辦“中國(guó)詩(shī)詞大賽”活動(dòng)，某班派出甲乙兩名選手同時(shí)參加比賽. 大賽設(shè)有15個(gè)詩(shī)詞填空題，其中“唐詩(shī)”、“宋詞”和“毛澤東詩(shī)詞”各5個(gè).每位選手從三類(lèi)詩(shī)詞中各任選1個(gè)進(jìn)行作答，3個(gè)全答對(duì)選手得3分，答對(duì)2個(gè)選手得2分，答對(duì)1個(gè)選手得1分，一個(gè)都沒(méi)答對(duì)選手得0分. 已知“唐詩(shī)”、“宋詞”和“毛澤東詩(shī)詞”中甲能答對(duì)的題目個(gè)數(shù)依次為5，4，3，乙能答對(duì)的題目個(gè)數(shù)依此為4，5，4，假設(shè)每人各題答對(duì)與否互不影響，甲乙兩人答對(duì)與否也互不影響．

求：（1）甲乙兩人同時(shí)得到3分的概率；

（2）甲乙兩人得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且//平面.

（1）求的值；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）若函數(shù)在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，及相應(yīng)的的值．

（Ⅲ）求函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）若函數(shù)存在相同的零點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）若存在兩個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有與同時(shí)成立，求的最大值及取最大值時(shí)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面， 為棱中點(diǎn)． ， ， ．

（I）求證： 平面．

（II）求證： 平面．

（III）在棱的上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知有窮數(shù)列， ， ， ， ，若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱(chēng)該數(shù)列為數(shù)列．

對(duì)于數(shù)列，定義如下操作過(guò)程從中任取兩項(xiàng)， ，將的值添在的最后，然后刪除， ，這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列，記作（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列）．若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過(guò)程．得到的新數(shù)列記作， ，如此經(jīng)過(guò)次操作后得到的新數(shù)列記作．

（Ⅰ）設(shè)， ， ， ，請(qǐng)寫(xiě)出的所有可能的結(jié)果．

（Ⅱ）求證：對(duì)數(shù)列實(shí)施操作過(guò)程后得到的數(shù)列仍是數(shù)列．

（Ⅲ）設(shè)， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求的所有可能的結(jié)果，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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