Question

（本小題滿分14分）
已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在對(duì)角線A₁C₁上，記二面角P-AB-C為α，二面角P-BC-A為β。

(1)當(dāng)A₁P：PC₁=1：3時(shí)，求cos（α+β）的大小。
（2）點(diǎn)P是線段A₁C₁(包括端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，α+β有最小值？

Answer 1

（1）- （2）P為A₁C₁的中點(diǎn)

試題分析： 
作PO⊥面ABCD于O，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴點(diǎn)O在線段AC上，且AO：OC=1:3
∴α=∠PEO，β=∠PFO       
EO=，F(xiàn)O=，PO=1，PE=，PF=        2分
cosα=，sinα=，cosβ=， sinβ=
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ==-   4分
（2）（8分）
設(shè)A₁P=kA₁C₁，k∈[0,1]                                5分
由第（1）題可知α=∠PEO，β=∠PFO
EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=  
cosα=，sinα=，cosβ=，
sinβ=                   7分
當(dāng)k=0或1時(shí)，即點(diǎn)P與A₁或C₁重合時(shí)，其中一個(gè)角為，另一個(gè)角為，
此時(shí)α+β=，tan（α+β）= -1                                        8分
∴當(dāng)k≠0，且k≠1時(shí)，tanα=，tanβ=
∴tan（α+β）
=       11分
∵k∈（0,1）   ∴     ∴tan（α+β）∈  
∵         ∴
∴tan（α+β）=時(shí)，α+β有最小值，此時(shí)k=時(shí)，即點(diǎn)P為A₁C₁的中點(diǎn)。  14分
點(diǎn)評(píng)：本題有一定難度，多章節(jié)知識(shí)的綜合