Question

若直線mx+ny=4和圓：x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（m，n）直線與橢圓的交點(diǎn)的個數(shù)（ ）
A．0 個
B．1個
C．2 個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：由直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，得到點(diǎn)P（m，n）是x²+y²=4圓內(nèi)的點(diǎn)．進(jìn)而得到點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，由此能求出過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)．
解答：解：∵直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，
∴原點(diǎn)到直線mx+ny-4=0的距離d=＞2，
解得m²+n²＜4，
∴點(diǎn)P（m，n）是x²+y²=4圓內(nèi)的點(diǎn)．
∵橢圓的長半軸2，短半軸為 2
∴圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓，
∴點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，
∴過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)的求法，具體涉及到圓的簡單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．