Question

設(shè)A={x|x=kπ+，k∈Z }，已知=（ 2cos，sin），=（cos，3sin），
（1）若α+β=，且=2，求α，β的值．
（2）若=，其中 α，β∈A，求tanαtanβ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由α+β=，我們易將向量，化為=（1，sin（）），=（，3sin（））的形式，結(jié)合=2，我們構(gòu)造三角方程，解方程即可求出滿(mǎn)足條件的α，β的值．
（2）由已知中=（ 2cos，sin），=（cos，3sin），及=，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于α，β的關(guān)系式，結(jié)合兩角和與差的余弦公式，我們易求出
-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，進(jìn)而得到答案．
解答：解：（1）∵α+β=，
∴=（1，sin（）），=（，3sin（）），（4分）
由=2，，得sin（）=0，
∴α=kπ+，β=-kπ+，k∈Z．（3分）
（2）∵=2cos²+3sin²
=1+cos（α+β）+3×
=+cos（α+β）-cos（α-β）=，（3分）
∴cos（α+β）=cos（α-β），
展開(kāi)得2cosα•cosβ-2sinα•sinβ=3cosα•cosβ+3sinα•sinβ
即-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，
∵α，β∈A，
∴tanα•tanβ=-．（4分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，向量加法及其幾何意義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握三角函數(shù)公式及向量數(shù)量積的定義，是解答本題的關(guān)鍵．