Question

若方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均小于1，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：方程（1+a）x²-3ax+4a=0是一個(gè)類二次方程，我們要首先分1+a=0和1+a≠0兩種情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)方程為二次方程時(shí)所有根均小于1，情況比較復(fù)雜，故我們可以先討論方程的兩根均不小于1的情況，再利用補(bǔ)集思想求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍．

解答：解：若1+a=0，即a=-1
則原方程可化為：3x-4=0，解得x=

4

3

，不滿足要求
若1+a≠0，即a≠-1時(shí)，
若方程（1+a）x²-3ax+4a=0有根，則△=9a²-16a²-16a≥0
即-

16

7

≤a≤0
若方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均不小于1
則

3a 1+a ≥2 4a 1+a ≥1

，即-

16

7

≤a-1
故方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均小于1時(shí)，-1＜a≤0
即實(shí)數(shù)a的范圍為，-1＜a≤0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，利用“正難則反”的思想，先求方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均不小于1時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍，再利用補(bǔ)集思想進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵．