Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）試判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）若x＞0時(shí)f（x）為增函數(shù)，求滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0；
（2）f（x）是偶函數(shù)，證明如下
令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒為0，∴f（x）是偶函數(shù)；
（3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x）
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）
∵x＞0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
∴|x+1|≤|2-x|
∴
∴滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合為{x|}．
分析：（1）利用賦值法，令x=y=1、-1，可求f（1）和f（-1）的值；
（2）令y=-1，再利用偶函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（3）將不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查賦值法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．