Question

橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，有下列研究問(wèn)題及結(jié)論：
①曲線

x2

25-k

+

y2

9-k

=1 (k＜9)與橢圓C的焦點(diǎn)相同；
②一條拋物線的焦點(diǎn)是橢圓C 的短軸的端點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=±6y；
③若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足

PF1

•

PF2

=0，則|

PF1

+

PF2

|=8．
則以上研究結(jié)論正確的序號(hào)依次是（　　）

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

Answer 1

分析：①求出橢圓C的焦點(diǎn)，再確定曲線

x2

25-k

+

y2

9-k

=1 (k＜9)為橢圓，確定出它的焦點(diǎn)，②根據(jù)數(shù)量積為0，確定兩向量垂直，|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|．

解答：解：①

x2

25

+

y2

9

=1中，焦點(diǎn)為（-4，0），（4，0），曲線

x2

25-k

+

y2

9-k

=1 (k＜9)也是表示橢圓，它的焦點(diǎn)為（-4，0），（4，0），①正確．
②橢圓C 的短軸的端點(diǎn)為（0，，3），拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=±12y；②錯(cuò)．
③

PF1

•

PF2

=0，即

PF1

⊥

PF2

，∴|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|=8，③正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的基本性質(zhì)，橢圓的焦點(diǎn)，也考查了向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題型．