Question

7．在梯形ABCD中，AD∥BC，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=4，AC與BD相交于點E，$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{16}{5}$

Answer 1

分析 以BC所在的直線為x軸，BA所在的直線為y軸，建立直角坐標系，可求得直線AC的方程與BD的方程，聯(lián)立二方程可求得點E的坐標，設(shè)D（m，2m），利用平面向量的坐標運算可求得$\overrightarrow{CD}$=（m-4，2m），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{2}{5}$），從而可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$的值．

解答 解：以BC所在的直線為x軸，BA所在的直線為y軸，建立直角坐標系，如圖：

則C（4，0），A（0，2），直線AC的斜率k=$\frac{2-0}{0-4}$=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴直線BD的斜率k′=2，∴過原點的直線BD的方程為y=2x，設(shè)D（m，2m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，即E（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∵$\overrightarrow{CD}$=（m-4，2m），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{2}{5}$），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{4}{5}$（m-4）-$\frac{2}{5}$×2m=-$\frac{16}{5}$．
故答案為：-$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，建立直角坐標系后，求得點E的坐標是關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及運算求解能力，屬于中檔題．