分析:(I)設橢圓C
1的半焦距為c,利用離心率,橢圓C
1上一點到F
1和F
2的距離之和為12,橢圓定義,求出a,b,然后求橢圓C
1的方程;
(II)求出點A
k的坐標,直接求△A
kF
1F
2的面積;
(III)橢圓C
2的方程為
+=1,設M(x,y),P(x,y
1),其中x∈[-4,4].
求出
e=,化簡16(x
2+y
12)=9(x
2+y
2).由點P在橢圓C上得
=,
求出點M的軌跡方程為
y=±(-4≤x≤4),軌跡是兩條平行于x軸的線段.
解答:解:(I)設橢圓C
1的半焦距為c,
則 2a=12
=解得a=6,c=3
,(3分)
于是b
2=a
2-c
2=36-27=9,(4分)
因此所求橢圓C
1的方程為:
+=1(5分)
(II)點A
k的坐標為(-k,2),
則
S△AkF1F2=×F1F2×2=×6×2=6.(10分)
(III)橢圓C
2的方程為
+=1,
設M(x,y),P(x,y
1),其中x∈[-4,4].
由已知得
=e2,
而e=
,故16(x
2+y
12)=9(x
2+y
2).
由點P在橢圓C上得
=,
化整理得9y
2=112,(13分)
因此點M的軌跡方程為
y=±(-4≤x≤4),(14分)
軌跡是兩條平行于x軸的線段.(15分)
點評:本題考查橢圓的應用,考查分析問題解決問題的能力,計算能力,邏輯思維能力,是中檔題.