已知橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,離心率為
3
2
,兩個焦點分別為F1和F2,橢圓C1上一點到F1和F2的距離之和為12,橢圓C2的方程為
x2
(a-2)2
+
y2
b2-1
=1
,圓C3:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak
(I)求橢圓C1的方程;
(II)求△AkF1F2的面積;
(III)若點P為橢圓C2上的動點,點M為過點P且垂直于x軸的直線上的點,
|OP|
|OM|
=e
(e為橢圓C2的離心率),求點M的軌跡.
分析:(I)設橢圓C1的半焦距為c,利用離心率,橢圓C1上一點到F1和F2的距離之和為12,橢圓定義,求出a,b,然后求橢圓C1的方程;
(II)求出點Ak的坐標,直接求△AkF1F2的面積;
(III)橢圓C2的方程為
x2
16
+
y2
17
=1
,設M(x,y),P(x,y1),其中x∈[-4,4].
求出e=
3
4
,化簡16(x2+y12)=9(x2+y2).由點P在橢圓C上得
y
2
1
=
112-7x2
16
,
求出點M的軌跡方程為y=±
4
7
3
(-4≤x≤4)
,軌跡是兩條平行于x軸的線段.
解答:解:(I)設橢圓C1的半焦距為c,
則 2a=12
c
a
=
3
2

解得a=6,c=3
3
,(3分)
于是b2=a2-c2=36-27=9,(4分)
因此所求橢圓C1的方程為:
x2
36
+
y2
9
=1
(5分)
(II)點Ak的坐標為(-k,2),
SAkF1F2=
1
2
×F1F2×2=
1
2
×6
3
×2=6
3
.(10分)
(III)橢圓C2的方程為
x2
16
+
y2
17
=1
,
設M(x,y),P(x,y1),其中x∈[-4,4].
由已知得
x2+
y
2
1
x2+y2
=e2
,
而e=
3
4
,故16(x2+y12)=9(x2+y2).
由點P在橢圓C上得
y
2
1
=
112-7x2
16
,
化整理得9y2=112,(13分)
因此點M的軌跡方程為y=±
4
7
3
(-4≤x≤4)
,(14分)
軌跡是兩條平行于x軸的線段.(15分)
點評:本題考查橢圓的應用,考查分析問題解決問題的能力,計算能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點,且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
OB
<6(其中O為原點),求k的取值范圍.

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已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點),求k的取值范圍.

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已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B,且滿足|OA|2+|OB|2>|AB|2,(其中O為原點),求l斜率的取值范圍.

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已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2
(其中O為原點),求k的范圍.
(3)試根據(jù)軌跡C2和直線l,設計一個與x軸上某點有關(guān)的三角形形狀問題,并予以解答(本題將根據(jù)所設計的問題思維層次評分).

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