Question

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，求m的值；
（3）記函數(shù)H（x）=[x（x-a）²-1]•[-x²+（a-1）x+a-1]，若函數(shù)y=H（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=2（x-1）²-2，所以
又g（1）=-1，則．所以．
（2）
則．
令f'（x）=0，得（舍），x=m．
①當(dāng)m＞1時(shí)，

x	1	（1，m）	m	（m，+∞）
f'（x）		-	0	+
f（x）	1+m	↘	2m2-3m2lnm	↗

∴當(dāng)x=m時(shí)，．
令2m²-3m²lnm=0，得．
②當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，f_min（x）=1+m，令m+1=0，得m=-1（舍）．
綜上所述，所求m為．
（3）記，，則據(jù)題意有h₁（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，h₂（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
（ⅰ）h₂（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足，∴a＞1或a＜-3；
（ⅱ）h₁（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，因，
令，得x=a或，
1°當(dāng)即a＜0時(shí)，h₁（x）在x=a處取得極大值，而h₁（a）=0，不符合題意，舍；
2°當(dāng)即a=0時(shí)，不符合題意，舍；
3°當(dāng)即a＞0時(shí)，h₁（x）在處取得極大值，，所以
因?yàn)椋á。�（ⅱ）要同時(shí)滿足，故．
下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在x₀使得h₁（x₀）-1=0和h₂（x₀）-1=0同時(shí)成立；
若存在x₀使得h₁（x₀）=h₂（x₀）=1，
由h₁（x₀）=h₂（x₀），即，
得，
當(dāng)x₀=a時(shí)，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
當(dāng)x₀≠a時(shí)，有①；
又由g（x₀）=1，即②；
聯(lián)立①②式，可得a=0；
而當(dāng)a=0時(shí)，H（x）=（x³-1）（-x²-x-1）=0沒(méi)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=H（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn)．
分析：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，根據(jù)g（x-1）+g（1-x）=2（x-1）²-2，可求a，c的值，利用g（1）=-1，可求b的值，從而得到g（x）的表達(dá)式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）=0，得x=m，對(duì)參數(shù)m分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值，利用f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，可求m的值；
（3）記，，則據(jù)題意有h₁（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，h₂（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，進(jìn)而分類討論，即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大．