Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2

3

的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2

6

，M，N分別為PB，PD的中點．
（1）證明：MN∥面ABCD；
（2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由M，N分別PB，PD的中點，知MN是△PBD的中位線，此能夠證明MN∥平面ABCD．
（2）連接AC交BD于O，以O為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能夠求出二面角A-MN-Q的余弦值．

解答：解：（1）∵M，N分別PB，PD的中點，
∴MN是△PBD的中位線，∴MN∥BD，
∵MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）連接AC交BD于O，以O為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，
建立空間直角坐標系O-xyz，如圖
在菱形ABCD中，∵∠BAD=120°，∴AC=AB=2

3

，BD=

3

AB=6，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．

在Rt△PAC中，∵AC=2

3

，PA=2

6

，AQ⊥PC，
∴QC=2，PQ=4，
∴A（-

3

，0，0），B（0，-3，0），C（

3

，0，0），D（0，3，0），
P（-

3

，0，2

6

），M（-

3

2

，

3

2

，

6

），N（-

3

2

，

3

2

，

6

），Q（

3

3

，0，

2 6

3

），
設平面AMN的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
由

AM

=(

3

2

，-

3

2

，

6

)，

AN

=(

3

2

，

3

2

，

6

)，
知

3 2 x1- 3 2 y1+ 6 z1=0 3 2 x1+ 3 2 y1+ 6 z1=0

，解得

m

=(2

2

，0，-1)．
設平面QMN的法向量

n

=(x2，y2，z2)，
由

QM

=(-

5 3

6

，-

3

2

，

6

3

)，

QN

=(-

5 3

6

，

3

2

，

6

3

)，
知

- 5 3 6 x2- 3 2 y2+ 6 3 z2=0 - 5 3 6 x2+ 3 2 y2+ 6 3 z2=0

，解得

n

=(2

2

，0，5)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2 2 ×2 2 -5

8+1 • 8+25

=

33

33

．
∴二面角A-MN-Q的余弦值為

33

33

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時要認真審題，注意中位線和向量法的合理運用．