Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x（1﹣x）．
（1）在如圖所給直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的草圖，并直接寫(xiě)出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）求出函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）=2x（1﹣x）=0得x=0或x=1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為﹣1，
即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為0，﹣1，1．
（2）若x＜0，則﹣x＞0，
∵x≥0時(shí)，f（x）=2x（1﹣x）．
∴當(dāng)﹣x＞0時(shí)，f（﹣x）=﹣2x（1+x）．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣2x（1+x）=﹣f（x），
即f（x）=2x（1+x），x＜0．
即f（x）=．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．