Question

20．已知等比數(shù)列{a_n}的首項為1，公比為q（0＜q≤1），它的前n項和為S_n，且T_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$，求$\underset{lim}{n→∞}$T_n的值．

Answer 1

分析 對q討論，分q=1，0＜q＜1，運用等比數(shù)列的求和公式，以及數(shù)列極限的公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）當 $q=1，{S_n}=n，\lim_{n→∞}{T_n}=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}=\lim_{n→∞}\frac{n}{n+1}=1$；
（2）當$q≠1，{S_n}=\frac{{1-{q^n}}}{1-q}，\lim_{n→∞}{T_n}=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}=\lim_{n→∞}\frac{{1-{q^n}}}{{1-{q^{n+1}}}}$，
由$0＜q＜1，\lim_{n→∞}{T_n}=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}=\lim_{n→∞}\frac{{1-{q^n}}}{{1-{q^{n+1}}}}=1$．
綜上得$\lim_{n→∞}{T_n}=1$．

點評 本題考查數(shù)列的極限的求法，考查分類討論的思想方法，以及運算能力，屬于中檔題．