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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-
2
,0)
,短軸的端點到右焦點的距離為
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與圓4x2+4y2=3相切,且與橢圓C交于A,B兩點,求|AB|的最大值.
考點:直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題:圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(1)利用橢圓的性質和b=
a2-c2
即可得出;
(2)當斜率不為0時,設切線的方程為x=my+n.利用點到直線的距離公式可得
|n|
1+m2
=
3
2
,再把切線方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數的關系,利用弦長公式可得|AB|.當斜率為0時,直接求出,再比較即可.
解答: 解:(1)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-
2
,0)
,短軸的端點到右焦點的距離為
3

∴c=
2
,a=
3
,
∴b=
a2-c2
=1,
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1

(2)①當斜率不為0時,設切線的方程為x=my+n.
|n|
1+m2
=
3
2
,化為4n2=3+3m2
聯(lián)立
x=my+n
x2+3y2=1
,化為(3+m2)y2+2mny+n2-3=0.
y1+y2=-
2mn
3+m2
,y1y2=
n2-3
3+m2

∴|AB|=
(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
(1+m2)[
4m2n2
(3+m2)2
-
4(n2-3)
3+m2
]
=
2
(1+m2)(9+3m2-3n2)
3+m2
,
n2=
3+3m2
4
代入上式可得|AB|=
3(1+
4
m2+
9
m2
+6
)
3(1+
4
6+6
)
=2,當且僅當m2=3時取等號.
②當斜率為0時,不妨取xA=
3
2
,代入橢圓的方程可得
1
3
×(
3
2
)2+
y
2
A
=1
,解得yA
3
2

|AB|=
3
<2.
綜上①②可知:|AB|的最大值是2.
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到的根與系數的關系、弦長公式等基礎知識與基本技能方法,考查了分類討論思想方法、推理能力和計算能力,屬于難題.
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