Question

【題目】已知函數(shù) ，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R），若f（x）在x=0處取得極值，且x﹣ey=0是曲線y=f（x）的切線．
（1）求a，b的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，若函數(shù)h（x）=g（x）﹣cx2為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

∵f（x）在x=0處取得極值，∴f'（0）=0，即b=0，

此時(shí) ，

設(shè)直線x﹣ey=0與曲線y=f（x）切于點(diǎn)P（x0，y0），由題意得 ，解之得a=1；

（2）解：記函數(shù) ，

當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0恒成立，

當(dāng)0＜x＜2時(shí)， ，

從而

∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

又 ，∴F（1）F（2）＜0，

又曲線y=F（x）在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，

∴x∈（0，x0），F(xiàn)（x）＞0；x∈（x0，+∞），F(xiàn)（x）＜0，

故 ，

從而 ，

∴ ．

由函數(shù)h（x）=g（x）﹣cx2為增函數(shù)，且曲線y=h（x）在（0，+∞）上連續(xù)不斷，

知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．

①當(dāng)x＞x0時(shí)， 在（x0，+∞）上恒成立，

即 在（x0，+∞）上恒成立，記 ，則 ，

從而u（x）在（x0，3）單調(diào)遞減，在（3，+∞）單調(diào)遞增，∴ ．

故 在（x0，+∞）上恒成立，只需 ，∴ ．

②當(dāng)0＜x＜x0時(shí)， ，

當(dāng)c≤0時(shí)，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，

綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍為：

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在x=0處取得極值，且x﹣ey=0是曲線y=f（x）的切線，可得b=1，且 ，由此可得a值；（2）記函數(shù) ，求其導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0恒成立，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，有 ，得到 ，分離參數(shù)c后利用導(dǎo)數(shù)求得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．